Mükemmel Sayı,Kendisi Hariç Çarpanlarının Toplamı Kendisini Veren Sayıdır.Bilinen Bütün Mükemmel Rakamlar, Çift Sayıdır 6,28,496,8128, Gibi’ .Acaba Mükemmel Tek Sayı Var mıdır.’ Varsa, Saklandığı Yerden Bulup Çıkartınız. Yoksa,Olmadığını İspatlayınız. Çözüm:
Mükemmel Çift Rakamlar,2′. 2”¹ – 1 Kuralına Göre Yazılabilirler.
n = 1 için n = 2 için n = 4 için 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2′.31=496 Gibi
Dikkat Edilirse,2” Çift Sayıdır Ve 2”¹ – 1 İse Tek,Sayıdır.Çarpımı da Çift Sayı Olur. Mükemmel Tek Sayı Var İse çarpanları Tek Sayı Olmalıdır ki Tek Rakamı Versin.Yani, X = 2k + 1 ‘.[A] Şeklinde Yazabiliriz.X: Mükemmel Tek Sayı Kabul Edelim.
[A]: Tek Ve Asal Sayı Olsun.2k+1: Tek Ve Asal Sayı Olsun.
Burada X Tek Sayı Olduğu İçin Asal Çarpanlarına Ayrıldığında Asal Çarpanları da Tek Sayıdır.2k+1’+2k+1¹+2k+1²+’+2k+1’+A+A.2k+1¹+A.2k+1²+’+ A.2k+1’¯¹ =2k+1′.A = X Şeklinde Yazılabilir. Buradan Hareketle,’ _p=o^n2k+1’+A .’ _p=o^n-12k+1’=2k+1′.A ‘2k+1 ‘^+1-1/ 2 k+1 – 1 +A . 2 k+1 ‘-1/ 2 k+1 – 1 = 2 k+1 ‘.A’2 k+1’^+1-1/2k+A.2k+1′-1/2k=2k+1’.A
‘2 k+1 ‘^+1-1+A.[2k+1′-1]/2 k=2k+1’.A ‘2k+1”¹-1+A.2k+1′-A=2k.2k+1’.A’2k+1”¹ -1=A.2k.2k+1′- A.2k+1′ +A
‘A.[2k.2k+1′-2k+1’+1]=2k+1”¹-1’A.[2k+1’ . 2 k -1 + 1 ] = 2 k + 1 ”¹ -1 ‘A=2 k+1 ‘^+1-1/2k+1’ .2 k-1 + 1
İfadesi Elde Edilir. Burada A, Tek Ve Aynı Zamanda Asal Sayı Olmalıdır.
k=1 için ve n=1 için ‘A=2k+1’^+1- 1/ 2 k+1 ‘.2k-1+1
‘A=3’^+1-1/3’+1=3²-1/3+1= 8/4=2 2 Asal Sayıdır,Fakat Çift Sayı Olduğundan Çarpım Tek Sayı Çıkmaz. Yani 2.3=6 Sonucu Çıkar.A=3 Olsunk=1 İçin3=3’^+1-1/3’+1’3.3’+3=3’^+1-1 ‘3’^+1+3
=3’^+1- 1 ‘3 ‘-1 Sağlamadı. A=3 Ve k=2 Olsun 3=5’^+1-1 /5 ‘.3+1’9.5’+3=5.5’-1 ‘4.5’ =-4’5′ = -1Bu Denkliği Sağlayacak ‘n’ Bütün Rakamı Yoktur.Aynı Şekilde Operasyonlara Devam Edilirse, Bu Denkliği Sağlayacak A, Tek Ve Asal Sayı Olacak Şekildek Ve n Bütün Rakamları Yoktur.Sonuç Olarak, Mükemmel Tek Sayı Yoktur.